فهرست مطالب
1. مقدمه و پیش‌نیازها
خانواده‌های بافته‌شده قاب‌ها توسط بمروز و همکاران در سال ۲۰۱۵ معرفی شدند، با انگیزه کاربردهای پردازش سیگنال توزیع‌شده در شبکه‌های حسگر بی‌سیم. ایده اصلی شامل پیش‌پردازش سیگنال‌ها با استفاده از خانواده‌ای از قاب‌های متناظر با گره‌های حسگر است، که بازسازی قوی سیگنال را صرف نظر از اینکه کدام زیرمجموعه از اندازه‌گیری‌ها به دست آمده باشد، تضمین می‌کند. از نظر ریاضی، یک خانواده از قاب‌های {f_ij}_{i∈I, j∈I_n} برای یک فضای هیلبرت جداپذیر H بافته‌شده است اگر برای هر افراز {σ_j}_{j∈I_n} از مجموعه اندیس I، مجموعه {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} یک قاب برای H با کران‌های یکنواخت تشکیل دهد. این یادداشت بر روی جفت‌های بافته‌شده قاب‌های (F, G) تمرکز دارد، که در آن F = {f_i}_{i∈I} و G = {g_i}_{i∈I} است، و اختلالات کوچکی که خاصیت بافته‌شدگی را حفظ می‌کنند، بررسی می‌شود. ما از عملگرهای سنتز برای ساده‌سازی اثبات‌ها استفاده می‌کنیم و توصیف‌های مربوط به تصاویر مایل و زوایای فضای پوچ را بررسی می‌کنیم.
2. قاب‌ها و قاب‌های بافته‌شده
فرض کنید H یک فضای هیلبرت جداپذیر باشد، و B(H) جبر عملگرهای خطی کران‌دار روی H را نشان دهد. برای یک عملگر T ∈ B(H)، R(T) و N(T) به ترتیب برد و فضای پوچ آن را نشان می‌دهند. یک قاب F = {f_i}_{i∈I} برای H نابرابری A∥x∥² ≤ ∑_{i∈I} |⟨x, f_i⟩|² ≤ B∥x∥² را برای تمام x ∈ H با کران‌های بهینه A_F و B_F برآورده می‌کند. عملگر سنتز T_F : H → H از طریق یک پایه متعامد B = {e_i}_{i∈I} به صورت T_F e_i = f_i تعریف می‌شود، با عملگر تحلیل T_F* و عملگر قاب S_F = T_F T_F*. ویژگی‌های کلیدی شامل این موارد است: F یک قاب است اگر و تنها اگر T_F پوشا باشد، و S_F مثبت و وارون‌پذیر باشد. قاب دوگان متعارف S_F^{-1}(F) بازسازی را ممکن می‌سازد: x = ∑_{i∈I} ⟨x, f_i⟩ S_F^{-1} f_i.
قاب‌های بافته‌شده، مطابق تعریف ۲، نیاز دارند که برای هر افراز {σ_j}_{j∈I_n} از I، بافت {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} یک قاب با کران‌های یکنواخت A و B باشد. بافت ضعیف نیاز یکنواختی را حذف می‌کند. قضیه ۱ (از [۲]) ثابت می‌کند که جفت‌های بافته‌شده ضعیف، بافته‌شده هستند، که تحلیل را ساده می‌کند. این یادداشت بر روی جفت‌های (F, G) تمرکز دارد و از نظریه عملگر برای استخراج شرایط اختلال استفاده می‌کند.
3. نتایج اختلال برای جفت‌های بافته‌شده
نتایج ما مکمل ادبیات موجود است با بررسی اختلالات کوچک δF = {f_i + δ_i}_{i∈I} از یک قاب F. تحت شرایط خاصی روی ∥δ_i∥، جفت (F, δF) بافته‌شده باقی می‌ماند. به طور خاص، اگر ∥δ_i∥ < ε برای تمام i و ε به اندازه کافی کوچک نسبت به کران‌های قاب باشد، آنگاه اختلال خاصیت بافته‌شدگی را حفظ می‌کند. اثبات‌ها از عملگرهای سنتز استفاده می‌کنند: فرض کنید T_F و T_δF عملگرهای سنتز F و δF باشند. اگر ∥T_F - T_δF∥ < A_F / 2، آنگاه T_δF پوشا باقی می‌ماند، که تضمین می‌کند δF یک قاب است. برای بافت، هر افراز σ را در نظر بگیرید؛ عملگر سنتز T_σ برای بافت {f_i}_{i∈σ} ∪ {δ_i}_{i∈σ^c} باید کران‌های مشابهی را برآورده کند. ما نشان می‌دهیم که ∥T_σ - T_F∥ را می‌توان کنترل کرد، که وارون‌پذیری S_σ را حفظ می‌کند.
لم کلیدی: اگر F و G با کران‌های A, B بافته‌شده باشند، و ∥T_F - T_G∥ < A/2، آنگاه اختلالات کوچک هر یک از قاب‌ها خاصیت بافته‌شدگی را حفظ می‌کنند. این به دنباله‌هایی که در آن اختلالات جمع‌پذیر هستند گسترش می‌یابد و نتایج قبلی را تعمیم می‌دهد.
4. توصیف مبتنی بر عملگر
ما جفت‌های بافته‌شده را از طریق زاویه بین فضای پوچ عملگر سنتز مختلط و بردهای تصاویر مایل توصیف می‌کنیم. عملگر T_{F,G} : H → H × H را با T_{F,G} x = (T_F x, T_G x) تعریف کنید. جفت (F, G) بافته‌شده است اگر و تنها اگر برای هر افراز σ، عملگر محدود شده T_σ = (T_F|_σ, T_G|_{σ^c}) پوشا باشد. این پوشایی معادل شرطی است که زاویه بین N(T_{F,G}) و R(P_σ) به صورت کران‌دار از پایین محدود شده باشد، که در آن P_σ یک تصویر مایل بر روی زیرفضای متناظر با σ است.
به طور خاص، فرض کنید θ_σ حداقل زاویه بین N(T_{F,G}) و R(P_σ) باشد. سپس، (F, G) بافته‌شده است اگر و تنها اگر inf_σ θ_σ > 0. این شبیه توصیف‌های قاب‌های ریز است، که یکنواختی در بین افرازها حیاتی است. کاربردها شامل تأیید بافته‌شدگی برای قاب‌های مرتبط از طریق اختلالات فشرده یا تفاوت‌های با رتبه متناهی است.
5. مرور آماری
کران‌های قاب
کران‌های بهینه A_F و B_F به صورت A_F = ∥T_F†∥^{-2}, B_F = ∥T_F∥² محاسبه شده‌اند
آستانه اختلال
ε < A_F / 2 تحت شرط ∥T_F - T_δF∥ < ε بافته‌شدگی را تضمین می‌کند
تعداد افراز
برای I نامتناهی، تعداد افرازها ناشمارا است؛ یکنواختی برای همه لازم است
6. بینش‌های کلیدی
- جفت‌های بافته‌شده ضعیف، بافته‌شده هستند، که تحلیل را به وجود کران‌های قاب برای هر افراز ساده می‌کند.
- عملگرهای سنتز یک رویکرد یکپارچه برای اثبات‌های اختلال فراهم می‌کنند و از استدلال‌های مبتنی بر مختصات اجتناب می‌کنند.
- شرط زاویه به فضاهای باناخ و قاب‌های همجوشی تعمیم می‌یابد، همانطور که در کارهای قبلی اشاره شده است.
- اختلالات کوچک در نرم عملگر، خاصیت بافته‌شدگی را حفظ می‌کنند، با کران‌های صریح مشتق‌شده از ثابت‌های قاب.
- کاربردها در شبکه‌های حسگر نیاز به مقاومت در برابر شکست گره‌ها دارند، که توسط افرازها مدل‌سازی می‌شوند.
7. نتیجه‌گیری
این یادداشت نظریه قاب‌های بافته‌شده را با ایجاد نتایج اختلال از طریق روش‌های عملگری-نظری پیش می‌برد. ما نشان می‌دهیم که اختلالات کوچک در نرم عملگر سنتز، خاصیت بافته‌شدگی را حفظ می‌کنند، با کران‌های بیان‌شده بر حسب ثابت‌های قاب. توصیف از طریق زوایای بین فضاهای پوچ و بردهای تصویر، چشم‌انداز جدیدی ارائه می‌دهد و بافته‌شدگی را به ویژگی‌های هندسی در فضاهای هیلبرت مرتبط می‌کند. کار آینده ممکن است این نتایج را به قاب‌های K و قاب‌های پیوسته گسترش دهد، که کاربردها در پردازش توزیع‌شده را بیشتر تقویت می‌کند.