Yaliyomo
1. Utangulizi na Msingi
Familia za furemu zilizosukwa zilianzishwa na Bemrose et al. mwaka 2015, zikilenga matumizi ya usindikaji wa ishara uliosambazwa katika mitandoa ya sensa isiyo na waya. Wazo la msingi linahusisha usindikaji wa awali wa ishara kwa kutumia familia ya furemu inayolingana na nodi za sensa, kuhakikisha uundaji upya wa ishara thabiti bila kujali ni sehemu gani ndogo ya vipimo inayopatikana. Kimahesabu, familia ya furemu {f_ij}_{i∈I, j∈I_n} kwa nafasi ya Hilbert inayoweza kutenganishwa H inasemekana kusukwa ikiwa, kwa kila mgawanyiko {σ_j}_{j∈I_n} wa seti ya fahirisi I, seti {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} huunda furemu kwa H na mipaka sare. Kumbuka hii inalenga jozi za furemu zilizosukwa (F, G), ambapo F = {f_i}_{i∈I} na G = {g_i}_{i∈I}, ikichunguza misukumo midogo inayohifadhi sifa ya kusukwa. Tunatumia opereta za usanisi ili urahisisha uthibitishaji na kuchunguza uainishaji unaohusisha makadirio yaliyopindika na pembe za nafasi tupu.
2. Furemu na Furemu Zilizosukwa
Acha H iwe nafasi ya Hilbert inayoweza kutenganishwa, na B(H) iashirie algebra ya opereta za mstari zilizofungwa kwenye H. Kwa opereta T ∈ B(H), R(T) na N(T) zinawakilisha upeo wake na nafasi tupu, mtawalia. Furemu F = {f_i}_{i∈I} kwa H inakidhi A∥x∥² ≤ ∑_{i∈I} |⟨x, f_i⟩|² ≤ B∥x∥² kwa kila x ∈ H, na mipaka bora A_F na B_F. Opereta ya usanisi T_F : H → H inafafanuliwa kupitia msingi wa kawaida wa orthogonal B = {e_i}_{i∈I} kama T_F e_i = f_i, na opereta ya uchambuzi T_F* na opereta ya furemu S_F = T_F T_F*. Sifa muhimu ni pamoja na: F ni furemu ikiwa tu T_F ina upeo kamili, na S_F ni chanya na inageuzika. Furemu ya pande mbili ya kawaida S_F^{-1}(F) inawezesha uundaji upya: x = ∑_{i∈I} ⟨x, f_i⟩ S_F^{-1} f_i.
Furemu zilizosukwa, kulingana na Ufafanuzi 2, zinahitaji kwamba kwa mgawanyiko wowote {σ_j}_{j∈I_n} wa I, kusokwa {f_ij}_{i∈σ_j, j∈I_n} ni furemu yenye mipaka sare A na B. Kusokwa dhaifu huacha hitaji la usawa. Nadharia 1 (kutoka [2]) inathibitisha kuwa jozi zilizosokwa dhaifu zinasokwa, ikirahisisha uchambuzi. Kumbuka hii inalenga jozi (F, G), kwa kutumia nadharia ya opereta kupata masharti ya misukumo midogo.
3. Matokeo ya Misukumo Midogo kwa Jozi Zilizosukwa
Matokeo yetu yanakamilisha fasihi iliyopo kwa kuchunguza misukumo midogo δF = {f_i + δ_i}_{i∈I} ya furemu F. Chini ya masharti fulani kwenye ∥δ_i∥, jozi (F, δF) inabaki kusukwa. Hususan, ikiwa ∥δ_i∥ < ε kwa kila i na ε ni ndogo vya kutosha ikilinganishwa na mipaka ya furemu, basi msukumo mdogo huhifadhi sifa ya kusukwa. Uthibitishaji hutumia opereta za usanisi: Acha T_F na T_δF ziwe opereta za usanisi za F na δF. Ikiwa ∥T_F - T_δF∥ < A_F / 2, basi T_δF inabaki kuwa na upeo kamili, ikihakikisha δF ni furemu. Kwa kusokwa, fikiria mgawanyiko wowote σ; opereta ya usanisi T_σ kwa kusokwa {f_i}_{i∈σ} ∪ {δ_i}_{i∈σ^c} lazima ikidhi mipaka sawa. Tunaonyesha kuwa ∥T_σ - T_F∥ inaweza kudhibitiwa, ikidumua kuweza kugeuzwa kwa S_σ.
Lema muhimu: Ikiwa F na G zimesukwa na mipaka A, B, na ∥T_F - T_G∥ < A/2, basi misukumo midogo ya furemu yoyote inadumisha sifa ya kusukwa. Hii inapanua kwa mfuatano ambapo misukumo midogo inaweza kujumlishwa, ikijumlisha matokeo ya awali.
4. Uainishaji Unaotegemea Opereta
Tunaelezea jozi zilizosukwa kupitia pembe kati ya nafasi tupu ya opereta mchanganyiko ya usanisi na upeo wa makadirio yaliyopindika. Fafanua opereta T_{F,G} : H → H × H kwa T_{F,G} x = (T_F x, T_G x). Jozi (F, G) imesukwa ikiwa tu kwa kila mgawanyiko σ, opereta iliyozuia T_σ = (T_F|_σ, T_G|_{σ^c}) ina upeo kamili. Upeo kamili huu unalingana na sharti kwamba pembe kati ya N(T_{F,G}) na R(P_σ) imepakaniwa chini, ambapo P_σ ni makadirio yaliyopindika kwenye nafasi ndogo inayolingana na σ.
Hususan, acha θ_σ iwe pembe ya chini kati ya N(T_{F,G}) na R(P_σ). Kisha, (F, G) imesukwa ikiwa tu inf_σ θ_σ > 0. Hii inafanana na uainishaji wa furemu za Riesz, ambapo usawa kote kwenye migawanyiko ni muhimu sana. Matumizi ni pamoja na kuthibitisha kusukwa kwa furemu zinazohusiana kupitia misukumo midogo iliyojumuishwa au tofauti za cheo kikomo.
5. Mchango wa Takwimu
Mipaka ya Furemu
Mipaka bora A_F na B_F iliyohesabiwa kama A_F = ∥T_F†∥^{-2}, B_F = ∥T_F∥²
Kizingiti cha Msukumo Mdogo
ε < A_F / 2 inahakikisha kusukwa chini ya ∥T_F - T_δF∥ < ε
Hesabu ya Migawanyiko
Kwa I isiyo na kikomo, migawanyiko mingi isiyohesabika; usawa unahitajika kwa wote
6. Ufahamu Muhimu
- Jozi zilizosokwa dhaifu zinasokwa, ikirahisisha uchambuzi kwa uwepo wa mipaka ya furemu kwa kila mgawanyiko.
- Opereta za usanisi hutoa mbinu ya umoja kwa uthibitishaji wa misukumo midogo, kuepuka hoja zinazotegemea kuratibu.
- Sharti la pembe linapanua kwa nafasi za Banach na furemu za muunganisho, kama ilivyoonyeshwa katika kazi za awali.
- Misukumo midogo kwenye kawaida ya opereta huhifadhi sifa ya kusukwa, na mipaka wazi inayotokana na viwango vya furemu.
- Matumizi katika mitandoa ya sensa yanahitaji uthabiti kwa kushindwa kwa nodi, yanayotengenelewa na migawanyiko.
7. Hitimisho
Kumbuka hii inaendeleza nadharia ya furemu zilizosukwa kwa kuanzisha matokeo ya misukumo midogo kupitia mbinu za nadharia ya opereta. Tunaonyesha kuwa misukumo midogo kwenye kawaida ya opereta ya usanisi huhifadhi sifa ya kusukwa, na mipaka iliyoonyeshwa kwa suala la viwango vya furemu. Uainishaji kupitia pembe kati ya nafasi tupu na upeo wa makadirio hutoa mtazamo mpya, unaounganisha kusukwa na sifa za kijiometri katika nafasi za Hilbert. Kazi ya baadaye inaweza kupanua matokeo haya kwa K-furemu na furemu endelevu, ikiboresha zaidi matumizi katika usindikaji uliosambazwa.